Ilmu Matematika

1. Pengertian Matematika

Matematika berasal dari bahasa latin manthanein atau mathema yang berarti belajar atau hal yang dipelajari. Matematika dalam bahasa Belanda disebut wiskunde atau ilmu pasti, yang kesemuanya berkaitan dengan penalaran deduktif, yaitu kebenaran sebelumnya sehingga kaitan antar konsep atau pernyataan dalam matematika bersifat konsisten.

Namun demikian, pembelajaran dan pemahaman konsep dapat diawali secara induktif melalui pengalaman peristiwa nyata dan intuisi. Proses induktif ± deduktif dapat digunakan untuk mempelajari konsep matematika. Kegiatan dapat dimulai dengan beberapa contoh atau fakta yang teramati, membuat daftar sifat yan muncul (sebagai gejala), memperkirakan hasil baru yang diharapkan, yang kemudian dibuktikan secara deduktif. Dengan demikian, cara belajar induktif dan deduktif dapat digunakan dan sama-sama berperan penting dalam mempelajari matematika diharapkan dapat membentuk sikap kritis, kreatif, jujur, dan komunikatif para peserta didik.
Selanjutnya pendapat para ahli yang lainnya diantaranya muncul sejak kurang lebih 400 tahun sebelum Masehi, dengan tokohtokoh utamanya adalah Plato (427-347 SM). Mereka mempunyai pendapat yang berlainan.

Plato berpendapat bahwa matematika adalah identik dengan filsafat untuk ahli piker, walaupun mereka mengatakan bahwa matematika harus dipelajari untuk keperluan lain. Objek matematika ada di dunia nyata, tetapi terpisah dari akal. Ia mengadakan perbedaan antara aritmatika (teori bilangan) dan logistic (teknik berhitung) yang dipelukan orang. Belajar aritmatika berpengaruh positif, Karena memaksa yang belajar untuk belajar bilangan-bilangan abstrak. Dengan demikian, matematika ditingkatkan menjadi mental aktivitas an mental abstak pada objek-objek yang ada secara lahiriah, tetapi yang ada hanya mempunyai representasi yang bermakna. Plato dapat disebut sebagai seorang rasionalis.

Arisoteles mempunyai pendapat lain. Ia memandang matematika sebagai salah satu dari tiga dasar yang membagi ilmu pengetahuan fisik, matematika, dan teologi. Matematika didasarkan atas kenyataan yang dialami, yaitu pengetahuan yang diperoleh dari eksperimen, observasi, dan abstraksi. Aristoteles dikenal sebagai seorang eksperimentalis.

Sedangkan matematika dalam sudut pandang Andi Hakim Nasution yang diuraikan dalam bukunya, bahwa istilah matematika berasal dari kata Yunani, mathein atau manthenein yang berarti mempelajari. Kata ini memiliki hubungan yang erat dengan kata Sansekerta, medha atau widya yang memiliki arti kepandaian ketahuan, atau inteligensia. Dalam bahasa Belanda, matematika disebut dengan kata wiskunde yang berarti ilmu tentang belajar (hal ini sesuai dengan arti kata mathein pada matematika)

Sampai saat ini belum ada definisi tunggal tentang matematika. hal ini dikarenakan banyaknya definisi-definisi matematika yang belum mendapat kesepakatan diantara para matematikawan.

Seperti kata Abraham S Lunchins dan Edith N Lunchins “In short,the question what is mathematics? MAy be answered difficulty depending on when the question is answered, where it is answered, who answer it, and what is regarded as being included in mathematics”. Pendeknya: “Apakah matematika itu?” dapat dijawab secara berbeda-beda tergantung pada bilamana pertanyaan itu dijawab, dimana dijawab, siapa yang menjawab, dan apa sajakah yang dipandang termasuk dalam matematika” .

Dengan demikian untuk menjawab pertanyaan “apakah matematika itu?” tidak dapat dengan satu atau dua kalimat begitu saja. Berbagai pendapat muncul tentang pengertian matematika tersebut dan dipandang dari berbagai pengetahuan dan pengalaman yang berbeda-beda.

Berdasarkan etimologi, Elca Tinggih menyatakan bahwa matematika berarti ilmu pengetahuan yang diperoleh dengan bernalar bukan berarti ilmu lain tidak melalui penalaran, akan tetapi dalam matematika lebih menekankan hasil observasi atau eksperimen disamping penalaran.

Pendapat lain, James and James dalam kamus matematikanya mengatakan bahwa matematika adalah ilmu tentang logika mengenai bentuk, susunan, besaran, dan konsep-konsep yang berhubungan satu dengan yang lainnya dengan jumlah yang banyak yang terbagi ke dalam tiga bidang, yaitu aljabar, analisis, dan geometri.

Koko Martono menyatakan bahwa matematika dapat dipandang sebagai suatu ilmu pengetahuan dengan pola pikir yang sistematis, kritis, cermat, dan konsisten, serta menuntut daya kreatifitas dan inovatif.

Dari beberapa pendapat tentang matematika di atas, penulis mencoba membuat kesimpulan bahwa matematika adalah suatu ilmu pengetahuan tentang logika yang membutuhkan suatu penalaran dan pemikiran yang sistematis, kritis, logis, jelas, cermat, dan akurat.

2. Karakteristik Matematika

Materi matematika baru dapat dipahami dengan penalaran yang cukup. Suatu konsep seringkali muncul sebagai perumusan kesimpulan dari fakta, fenomena, pengalaman dan intuisi matematika. Proses induktif ini membawa pada suatu hasil yang kebenarannya perlu diuji dan diyakini secara deduktif dengan asumsi dan penalaran.

Proses induktif-deduktif dimulai dengan beberapa contoh, fakta dan fenomena yang diamati. Dengan proses induktif, dari contoh, fakta dan fenomena tadi dibuat daftar sifat yang muncul dan dari sini akan dapat diperkirakan suatu hasil baru. Setelah mempelajari asumsinya, hasil baru tersebut diyakinkan kebenarannya dengan proses deduktif. Pada tahapan ini diperlukan logika, penalaran dan teknik matematika untuk membuktikan kebenaran hasil tersebut.
Berdasarkan uraian di atas, secara singkat karakteristik matematika dapat disimpulkan sebagai berikut:

• Keterkaitan erat antara belajar matematika dengan pola bernalar, dan bernalar hanya dapat dihayati dengan belajar matematika.
• Teori matematika dirancang dan dikembangkan dengan pola berpikir induktif dan deduktif menggunakan berbagai teknik dan manipulasi matematika.
• Banyak teori matematika yang muncul karena dipicu oleh kebutuhan akan pemecahan masalah dalam situasi nyata. Aspek teori dan penerapannya merupakan suatu kestuan yang tidak terpisahkan.

Dari uraian tersebut penulis menyimpulkan bahwa kajian topik matematika merupakan suatu rantai kokoh yang saling terkait dan berkesinambungan, topik yang satu menunjang lainnya. Pola berpikir yang sistematis, kritis, logis, cermat dan konsisten menyebabkan matematika mempunyai struktur yang kokoh dan harmonis, antara suatu hasil dan lainnya tidak saling bertentangan.

3. Pembelajaran Matematika

Matematika tumbuh dan berkembang karena proses berpikir, oleh karena itu logika adalah dasar untuk tebentuknya matematika. Logika adalah masa bayi dari matematika,sebaliknya matematika adalah masa dewasa dari logika. Pada permulaanya cabang-cabang matematika yang ditemukan adalah aritmatika atau berhitung, aljabar dan geometri. Setelah itu ditemukan kalkulus yang berfungsi sebagai tonggak penopang terbentuknya cabang matematika baru yang lebih kompleks, antara lain statistika, topologi, aljabar (linier, abstrak, himpunan), geometri (sistem geometri, linier), analisis vektor dan lain-lain.

Pembelajaran matematika adalah proses pemberian pengalaman belajar kepada peserta didik melalui serangkaian kegiatan yang terencana sehingga peserta didik memperoleh kompetensi tentang bahan matematika yang dipelajari. Salah satu komponen yang menentukan ketercapaian kompetensi adalah penggunaan strategi pembelajaran matematika yang sesuai dengan (1) topik yang sedang dibicarakan, (2) tingkat perkembangan peserta didik, (3) prinsip dan teori belajar, (4) keterlibatan aktif peserta didik, (5) keterkaitan dengan kehidupan peserta didik sehari-hari, dan (6) pengembangan dan pemahaman penalaran matematis.

4. Penjumlahan

Penjumlahan atau penambahan (pengerjaan tambah) merupakan pengerjaan pokok dalam pengerjaan-pengerjaan hitung.

Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia (2002:480) menyatakan bahwa penjumlahan adalah proses, cara, pembulatan penjumlahan. Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia (2002:480) menyatakan bahwa penjumlahan adalah hal menjumlahkan. DYLG Glover (2006:4) menambahkan bahwa penjumlahan adalah cara menemukan jumlah total dua bilangan atau lebih. Tanda + dalam penjumlahan menunjukkan bahwa bilangan-bilangan tersebut dijumlahkan.

Operasi penjumlahan (tambah) adalah dasar dari operasi hitung pada sistem bilangan. Operasi penjumlahan selalu kita gunakan dalam kehidupan sehari-hari. Pembicaraan sehari-hari kita menggunakan penjumlahan untuk banyak tindakan yang berbeda. Sebagai contoh penjumlahan sejumlah telur. Disini kita butuh membedakan antara cara mengkombinasikan dua himpunan, dimana kita bisa menyebutnya sebagai kesatuan; dan cara mengkombinasikan dua bilangan, dimana kita boleh menyebutnya sebagai penjumlahan. Jadi penjumlahan dua bilangan, misalkan 5 dan 7, dapat disamakan dengan mengambil sembarang himpunan yang jumlahnya adalah 5 dan sembarang himpunan yang jumlahnya 7. Kesatuan ini digambarkan sebagai satu himpunan dan didapatkan jumlah dari himpunan baru ini.

Sedangkan menurut Van De Walle (2006:155), jika beberapa bagian dari suatu himpunan sudah diketahui, penjumlahan digunakan untuk menyebut jumlah keseluruhan dari bagian-bagian tersebut. Definisi dari penjumlahan yang cukup sederhana bisa digunakan baik untuk situasi yang memerlukan aksi (penggabungan dan pemisahan) dan situasi statis yang tidak memerlukan adanya aksi.

Lambang + adalah lambang untuk operasi penjumlahan atau pertambahan, sehingga kalimat matematika seperti jumlah delapan dan lima sama dengan 13 ditulis secara symbol atau model matematika adalah 1+1=2 Tanda + mulai dipakai pada abad ke15 untuk menandai karung-karung padi, gandum yang melebihi berat yang ditentukan sebelumnya.

Terdapat beberapa sifat penting dari operasi penjumlahan yang berlaku pada himpunan bilangan real. Sifat-sifat itu diantaranya sebagai berikut:

• Himpunan semua bilangan real tertutup operasi penjumlahan, yaitu untuk setiap real a dan b, maka a + b merupakan bilangan real.
• Operasi penjumlahan bersifat assosiatif, yaitu untuk setiap bilangan real a dan b berlaku: a + b = b + a misalnya 2 + 3 = 3 + 2
• Operasi penjumlahan bersifat asosiatif , yaitu untuk setiap bilanga real a, b, dan c berlaku a + (b + c) = (a + b) + c misalnya: 2 + (3 + 4) =(2 + 3) + 4 = 9
• Operasi penjumlahan pada himpunan semua bilangna real memiliki unsur identitas, yaitu 0, karena untuk setiap bilangan real a berlaku a + 0 = 0 + a = a
• Setiap bilangan real a memiliki lawan terhadap operasi penjumlahan, yaitu (-a) karena a + (-a) = (-a) + a = 0

5. Bahan Manipulatif

Menurut Heddens (2005) bahan manipulatif ialah model konkrit yang melibatkan konsep matematik, menarik kepada beberapa ide serta boleh disentuh dan digerakkan oleh peserta didik. Pada masa sekarang, bahan manipulatif digunakan dalam pengajaran matematik telah diterima yang boleh digunakan sebagai satu kaidah yang akan membantu peserta didik belajar matematik dengan lebih bermakna. Kesimpulannya bahan manipulatif membantu peserta didik membina kepercayaan mental yang lebih jelas untuk memahami ide-ide dan konsep-konsep matematika (Weiss, 2006).

Pendapat lain mengatakan tentang pengertian bahan manipulatif dalam pembelajaran matematika adalah sebagai berikut: Bahan manipulatif dalam pembelajaran matematika SD adalah alat bantu pembelajaran yang digunakan terutama untuk menjelaskan konsep dan prosedur matematika. Media ini merupakan bagian langsung dari mata pelajaran matematika dan dimanipulasikan oleh Peserta didik (dibalik, dipotong, digeser, dipindahkaan, digambar, dipilah, dikelompokkan atau diklasifikasikan.

Sumber Bacaan

Abdul Halim Fathani, MATEMATIKA HAKIKAT & LOGIKA (Jakarta: AR-RUZZ MEDIA, 2009)